ラッセルのパラドックス:背景、例、文言

教育:

ラッセルのパラドックスは、相互に依存しない2つの論理反論を表しています。

ラッセルのパラドックスの2つの形式

最も頻繁に議論される形式は、セットの論理における矛盾。いくつかのセットは、それ自身のメンバーでも、他のセットでもよいと思われます。すべてのセットのセット自体がセットなので、それはそれ自身を参照するようです。ただし、ゼロまたは空白は自分自身のメンバーであってはいけません。したがって、すべてのセットのセットは、ゼロセットのように、それ自体に入りません。パラドックスは、セットがそれ自身のメンバーであるかどうかの問題で生じる。そうでない場合に限り可能です。

パラドックスのもう一つの形は、特性に関する矛盾。一部のプロパティは自分自身に属しているように見えるものもあれば、そうでないものもあります。猫であることの特性は、それのプロパティではありませんが、プロパティ自体がプロパティであるのプロパティは、プロパティです。自分自身に適用されないプロパティを持つプロパティを考えてみましょう。それはそれ自体に適用可能ですか?再び、任意の仮定から、その反対が続く。パラドックスは1901年にオープンしたバートランド・ラッセル(1872-1970)にちなんで命名されました。

パラドックスが落ち着いた

歴史

ラッセルの発見は彼の仕事の間に起こった「数学の原理」の上にある。彼は自分自身で逆説を発見したにもかかわらず、Ernst ZermeloとDavid Hilbertを含む他の数学者やセット理論の開発者が、彼の前の矛盾の最初のバージョンを知っていたという証拠がある。しかし、ラッセルは、出版された作品のパラドックスについて議論した最初の人でした。最初に彼はソリューションを策定しようとしましたが、その重要性を十分に理解した最初の人物でした。 「原則」の章全体がこの質問の議論に費やされ、付録はタイプの理論に専念した。これはラッセルが解決策として提案したものである。

ラッセルは「嘘つきのパラドックス」を発見し、Cantorの定理は、任意の集合の基数がその集合の集合よりも小さいことを述べている。少なくとも1つのドメインには、各要素に対して1つのサブセットがこの要素のみを含むセットである場合、その要素に含まれるサブセットと同じ数のサブセットが存在する必要があります。さらに、Cantorは要素の数は部分集合の数と等しくないことを証明しました。それらが同じ数であれば、要素をその部分集合に写像する関数fがなければならない。同時に、これは不可能であることが証明される。いくつかの要素は、それらを含む部分集合上の関数fによって表示することができますが、他の要素は表示できません。

そうでない要素のサブセットを考えてみましょうそれらの画像に属し、それらが表示される。それ自体は要素のサブセットであるため、関数fはそれをドメインのある要素にマップする必要があります。問題は、この要素がマッピングされているサブセットに属しているかどうかという疑問が生じることです。これは、それが属していない場合にのみ可能です。ラッセルのパラドックスは、推論と同じ行の例とみなすことができ、簡略化されています。セットのセットまたはサブセットは何ですか?セットのすべてのサブセット自体がセットなので、より多くのセットがあるはずです。しかし、Cantor定理が真であれば、より多くの部分集合が存在しなければならない。ラッセルは、セットの最も単純なマッピングを考え、カントリーのアプローチを適用して、マップされているセットに属していないこれらすべてのエレメントのセットを検討しました。ラッセルマップは、それ自体に入っていないすべてのセットのセットになります。

パラドックスには例が散在している

エラーフレージ

「嘘つきのパラドックス」は深刻な結果をもたらしましたセット理論の歴史的発展彼は普遍的なセットの概念は非常に問題があることを示した。彼はまた、それぞれの定義された条件または述語について、この条件を満たすものだけの集合が存在すると仮定できるという概念に疑問を呈した。特性に関するパラドックスの変種 - セットによるバージョンの自然な継続 - は、特性の客観的存在または各決定された条件または述語への普遍的な対応について主張することが可能であるかどうかに関して、深刻な疑念を提起した。

まもなく、矛盾と問題が類似の仮定をした論理学者、哲学者、数学者の作品。初期の20世紀 - 1902年に、ラッセルはパラドックスのバリアントはゴットロープ・フレーゲの「算術の基礎」のボリュームIで開発された論理システム、後半XIXのロジック上の主な作品の一つで表現することができることを見出しました。フレジェの哲学では、その集合は概念の「拡張」または「意味範囲」として理解される。コンセプトはプロパティと最も近い相関関係です。与えられた状態または述語ごとに存在すると仮定します。したがって、その定義概念に該当しない集合の概念が存在する。このコンセプトで定義されたクラスもあり、それが定義されていない場合にのみ定義コンセプトに該当します。

セット理論の逆説

ラッセルは6月にこの矛盾についてフレージに書いた1902年の通信は、論理の歴史において最も興味深く議論されたものの一つとなった。 Fregeは直ちにパラドックスの悲惨な結果を認識しました。しかし彼は、彼の哲学における特性に関する矛盾のバージョンは、概念のレベルを区別することによって解決されたと指摘した。

フレージの概念は、真理値に対する議論。第1レベルの概念はオブジェクトを引数として受け入れ、第2レベルの概念はこれらの関数を引数として受け取ります。したがって、その概念は議論として決して決してできず、性質に関​​するパラドックスを定式化することはできない。それにもかかわらず、セット、エクステンション、またはコンセプトは、他のすべてのオブジェクトと同じ論理型に属するものとしてFregeによって理解されました。そして、それぞれのセットについて、それを定義する概念の下にあるかどうかという疑問が生じます。

フレージがラッセルの最初の手紙を受け取ったとき、「算術の基礎」の量はすでに印刷を終了しました。彼は、ラッセルのパラドックスに答えるアプリケーションをすぐに準備することを強いられました。 Fregeの例には、いくつかの解決策が含まれていました。しかし、彼は論理的なシステムにおけるセットの抽象概念を弱める結論に達した。

元来は、次のような結論に至ることができました。オブジェクトは、それを決定する概念の下にある場合に限り、集合に属します。改訂されたシステムでは、オブジェクトがセットに属していると結論付けることができるのは、それが問題のセットではなく定義セットの概念に当てはまる場合のみです。ラッセルのパラドックスは起こらない。

しかし、その決定はFregeを満足させるものではなかった。 それが理由でした。数年後、改訂されたシステムでは、より複雑な形の矛盾が見つかった。しかし、これが起こる前でさえ、Fregeは彼の決定を拒否し、彼のアプローチは単純に機能しておらず、ロジックが全くセットなしでやらなければならないという結論に達したようだ。

それにもかかわらず、他の比較的成功した代替ソリューションが提案された。それらについては以下で説明します。

パラドックスの矛盾

タイプ理論

上記のようにフレージは十分なバリアントにおける集合理論の逆説に対する答えは、性質を定式化したものである。 Fregeの答えは、このようなパラドックスの最も頻繁に議論された解決策に先行していました。これは、プロパティが異なるタイプに分類され、プロパティのタイプが関連するエレメントと決して同じではないという事実に基づいています。

したがって、質問さえありません。プロパティがそれ自体に適用可能かどうか。そのような階層から要素を分離する論理言語は、型理論を使用します。それはすでにFregeによって使用されていますが、最初に完全に説明され、原則の付録のRussellによって正当化されました。タイプの理論はフレージレベルの区別よりも完全だった。これは、プロパティを異なる論理タイプに分割するだけでなく、セットも分離しました。種類の理論は、ラッセルのパラドックスにおける矛盾を以下のように解決した。

哲学的に適切であるためには、特性の種類の理論を受け入れるには、それがなぜ自分自身に適用できないのかを説明できるように、性質の性質に関する理論の開発が必要である。一見すると、自分の財産を述語にすることは理にかなっています。自己同一性の性質は、同じであると思われるが、自己同一性である。心地よいという性質は楽しいようです。同様に、明らかに、猫であるという性質は猫であると言うのは間違いです。

それにもかかわらず、様々な思想家は、異なる種類の型の分割。ラッセルは彼のキャリアのさまざまな時代に異なった説明をしました。彼のために、概念の不飽和の理論から、異なるレベルの概念のFregeの分割の実証が進んでいます。機能としての概念は本質的に不完全です。値を提供するには、引数が必要です。 1つの概念を同じ型の概念で述語化することはできません。例えば、特定の数の平方根から平方根を抽出することは可能であるが、平方根関数に平方根関数を適用して結果を得るだけでは不可能である。

不溶性バートランドパラドックス

プロパティの保守性について

プロパティのパラドックスに対するもう一つの可能​​な解決法任意の与えられた条件または十分に形成された述語に従った財産の存在の否定である。もちろん、客観的かつ独立した要素としての形而上学的性質を嫌う人は、名義主義を受け入れるならば、パラドックスを完全に避けることができます。

しかし、異議申し立てを解決するには、そうである必要はありません極端な。論理高次のシステムにかかわらず、例えば、財産又はコンセプトの一部として式に一致する項目のみが存在するどの複合体の各開放式これによれば、概念的な原理と呼ばれるものを含む、フレーゲとラッセルを開発しました。それらはどれほど複雑であっても、条件または述語の可能なセットの属性に適用されました。

それにもかかわらず、より厳格な例えば、赤色、硬度、優しさなどを含む単純な特性に客観的存在の権利を提供するなど、これらの特性を自分自身に適用することさえ可能である。例えば、優しさは親切にすることができる。

複雑な属性についても同じステータスが可能です例えば、水中で書かれるべき17の頭部を有するようなそのような「特性」を否定する。この場合、与えられた条件は、それ自体の特性を有する別個に存在する要素として理解される特性に対応するものではない。したがって、性質のより単純な性質の存在を否定することができ、より自己保全的な性質の形而上学を適用することによってパラドックスを避けることができる。

嘘つきのパラドックス

ラッセルのパラドックス:解決策

それは彼の人生の最後にフレージ完全にセットの論理を放棄した。これはもちろん、セットの形での異端の1つの解決策である:全体としてのそのような要素の存在の単純な否定。さらに、その他の一般的な解決法がありますが、その主な詳細は以下に示されています。

セットのタイプの理論

先に述べたように、Russellはもっとプロパティやコンセプトだけでなく、さまざまなタイプに分離するタイプの完全な理論です。ラッセルは、セットを個々のオブジェクトのセット、個々のオブジェクトのセットのセットなどに分割した。セットはオブジェクトと見なされず、セットのセットがセットとされた。セットには自分自身をメンバーとして持つことができるタイプはありませんでした。そのため、適切な用語ではないすべてのセットのセットはありません。これは、セットであるかどうかという問題は、それがメンバーであるかどうかの問題自体が型違反であるためです。ここでも問題は、タイプの分割の哲学的基礎を説明するために、セットの形而上学を明確にすることです。

階層化

1937年、VV Quineは、いくつかの点で型の理論に似た代替ソリューションを提案しました。彼についての基本的な情報は以下の通りです。

要素、集合などによる分離 それ自体でセットを見つけるという仮定が常に間違っているか無意味であるようなやり方で生成される。セットは、それらを定義する条件が型の違反ではないという条件下でのみ存在することができます。したがって、Quineに対して、 "xはxのメンバーではない"という表現は重要なステートメントであり、この条件を満たすすべての要素xの集合の存在を示唆するものではありません。

このシステムでは、階層化されている場合のみ、すなわち変数に自然数が割り当てられ、それに先行する変数への代入が後続の代入よりも1つ少ない割り当てに割り当てられるような場合には、未処理の数式Aもある。これは、問題集合を定義するために使用される公式に、メンバーシップ記号の前後に同じ変数が含まれているため、ラッセルパラドックスをブロックします。

しかし、Quineが「数学論理の新しい基盤」と呼んだ結果システムが一貫しているかどうかはまだ決まっていません。

基本情報

並べ替え

完全に異なるアプローチがセットの理論に採用されているツェルメロ - フラメンケル(CF)。ここでも、セットの存在に対する制限が確立されています。ラッセルとフレージのトップダウンアプローチの代わりに、最初にコンセプトや財産、条件を考えれば、そのような性質を持つすべてのものが存在するとか、そのような条件を満たすことができます.FC理論ではすべてが下から上に向かっています。

個々の要素と空のセット形式たくさんの。したがって、FCはRussellとFregeの初期のシステムとは異なり、すべての要素やすべてのセットを含む汎用セットを指すわけではありません。 FCはセットの存在を厳しく制限しています。明示的に仮定することができるもの、または反復プロセスなどを使用してコンパイルできるものだけが存在する可能性があります。

次に、素朴な抽象概念の代わりにセットは、要素が定義された条件を満たす場合にのみ、要素が特定の集合に含まれることを示します。分割、分離、またはソートの原則がFCで使用されます。例外なく、ある条件を満たすすべての要素のセットが存在すると仮定するのではなく、既に存在する各セットについて、その条件を満たす元のセット内のすべての要素のサブセットの存在を示します。

次に、抽象化の原則が来る: 集合Aが存在すれば、Aのすべての要素xに対して、xは条件Cを満たす場合にのみ条件Cを満たす部分集合Aに属する。このようなアプローチは、ラッセルパラドックスを解く。なぜなら、自分自身のメンバーではないセット。

たくさんのセットがある場合は、それをそれ自身のものとそうでないものに分けるが、普遍的なものはないので、我々はすべてのセットのセットに拘束されない。ラッセル問題の仮定がなければ、矛盾は証明できません。

その他のソリューション

さらに、Quineの「数理論理」システムの拡張や、Bernays、Gödel、von Neumannによる最近の一連の理論の発展など、これらの解決法のすべての修正が含まれます。難解なバートランド・ラッセルのパラドックスに対する答えが見つかったかどうかは、依然として議論の対象です。